Дифференциал функции.

1. Понятие дифференциала функции и таблица дифференциалов.

Произведение производной ƒ^/ (х) на приращение ∆х называется дифференциалом функции у = ƒ (х) в точке х₀. Обозначают дифференциал dy ( x )  или    dƒ (х). Поэтому можно написать dy = dƒ (х) = ƒ^/ (х) ∆х. Для приращения независимой переменной имеем ∆х = dх , и поэтому дифференциал записывается в виде dƒ = ƒ^/ (х) dх (13). Заметим, что приращение функции   ∆у   при малом приращении ∆х = dх по величине «очень мало» отличается от приращения по касательной, т.е. от дифференциала   dy.  Следовательно, можно записать     ∆у  ≈  dy.  Так как  касательная в точке М, «почти совпадает» с кривой в малой окрестности точки х₀ то разность (∆у –  dy) стремится к нулю «быстрее», чем ∆х, при

х    0. Это обстоятельство используется в приближенных вычислениях. Пример. Найти дифференциал функции   ƒ (х) = 3х² – sin (1+2x).

Решение.     Находим по формуле (13)

находим    dy = ( 3x² – sin (1+2x))^{/ .} dx = (6x – 2cos(2x+1)) dx

С помощью определения и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.

1. d ( u ± v) = du ± dv
2. d ( u ^. v) = v ^. du + u ^. dv , в частности      d (C ^. u ) = C ^. du
3. d , в частности
4. dy = y^/_x ^. dx , если y = ƒ (х)
5. dy = y^/_u ^. du , если y = ƒ (u), u = (x)
6. dC = 0
7. d(uⁿ) = n ^. u^{n-1 .} du
8. d( aⁿ) = a^{n .} lna ^. du , в частности, d( aⁿ) = e^{n .} du
9. d(log_a u) = ^. du , в частности, d(ln u) = ^. du
10. d(sin u) = cos u ^. du
11. d(cos u) = – sin u ^. du
12. d(tg u) =  ^. du
13. d(ctg u) = –  ^. du
14. d(arcsin u) =  ^. du
15. d(arcos u) = –  ^. du
16. d(arctg u) = –  ^. du
17. d(arcctg u) = –  ^. du
18. d( shu) = chu ^. du
19. d( chu) = shu ^. du
20. d( thu) = ^. du
21. d( cthu) = ^. Du
22. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Как известно, ∆у  ≈  dy. Это равенство тем точнее, чем меньше ∆х. Это равенство позволяет с большей точностью вычислить приращение любой дифференцируемой  функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому данное равенство широко применяется в вычислительной практике.

Подставляя в последнее равенство значения  ∆у  и   dy , получим

ƒ (х + ∆х) – ƒ (х) ≈ ƒ^/ (х) ^. ∆х  или ƒ (х + ∆х) ≈ ƒ (х) + ƒ^/ (х) ^. ∆х    (14)

Формула (14) используется для вычислений приближенных значений функций.

Пример. Вычислить приближенно arctg 1.05.

Решение. Рассмотрим функцию ƒ (х) = arctg х. По формуле (14) имеем arctg (х + ∆х) ≈ arctg х + (arctg х)^{/ .} ∆х    , arctg (х + ∆х) ≈ arctg х +

Так как  х + ∆х  = 1,05,то при  х = 1  и  ∆х  = 0,5   получаем

arctg 1,05 ≈ arctg 1 +  =  + 0,025 ≈ 0,810

3. Дифференциалы высших порядков.

Пусть у = ƒ (х) дифференцируемая   функция, а ее аргумент х – независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy = ƒ^/ (х) dх есть также функция   х  , можно найти  дифференциал  этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции у = ƒ (х) называется ее вторым дифференциалом  или  дифференциалом   второго  порядка  и обозначается

d ² y   или d ² ƒ (х). Итак по определению d ² y = d (d y). Найдем выражение второго дифференциала функции у = ƒ (х).

Так как  dх = ∆х не зависит от х, то при дифференцировании считаем dх постоянным:

d ² y  = d (d y)  = d (ƒ^/ (х) dх) = (ƒ^/ (х) dх)^{/ .} dх = ƒ^// (х) dх ^. dх = ƒ^// (х) ^. (dх)²,

т.е.      d ² y  = ƒ^// (х) ^. (dх)²   (16).

Аналогично определяется и находится дифференциалом третьего порядка :

d ² y  = d (d² y)  = d (ƒ^// (х) dх²) = ƒ^/// (х) ^. (dх)³.    И,  вообще дифференциал  n-го  порядка  есть дифференциал от дифференциала (n – 1) -го  порядка :

d ⁿ y  = d (d^n-1 y) = ƒ ⁽ⁿ⁾ (х) ^. (dх)ⁿ.

Отсюда находим, что ƒ ⁽ⁿ⁾ (х)  =  . В частности,   ƒ^/ (х) =  ,

ƒ^// (х) = , ƒ^/// (х) =  , т.е. производную функции можно рассматривать как отношение дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если х –  независимая  переменная.  Если же функцию  у = ƒ (х), х – функция от какой – то другой независимой переменной, то дифференциалы   второго  и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере  дифференциала   второго  порядка . Используя формулу произведения,

d ( u ^. v) = v ^. du + u ^. dv, получаем

d ² y  = d (ƒ^/ (х) dх) = d (ƒ^/ (х))^{/ .} dх + ƒ^/ (х) d ^. (dх) = ƒ^// (х) ^. dх^. dх + ƒ^/ (х) ^. d²х

т.е.      d ² y  = ƒ^// (х) dх ^. dх  +  ƒ^/ (х) ^. d²х         (17).

Сравнивая формулы  (16) и (17), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала   второго  порядка изменяется: появляется  второе слагаемое ƒ^/ (х) ^. d²х . Ясно , что если х – независимая переменная, то   d ² х =  d (d х) = d ( 1 ^. d х)   =  d х ^. d (1) = d х ^. 0 = 0  и формула (17) переходит в формулу  (16).

Пример.    Найти d ² y,  если    у = e^3х ,  если х – независимая переменная.

Решение.  Так как  у^/ =  3e^3х  , у^// =  9e^3х , то по формуле  (16) имеем

d ² y =  9e^3х dх².

Понимание нового материала

Пример 1. Найти дифференциал функции .

Решение. Найдем производную этой функции:

По определению дифференциала функции , поэтому

.

Пример 2. Вычислить приближенное значение .

Решение. Преобразуем этот корень при помощи элементарных

действиий так: .

Вычислим теперь приближенно . Рассмотрим это выражение        как частное  значение функции  при . Обозначим , . Нам надо найти приращение функции  при изменении аргумента от значения  до .

Примем .

Найдем «новое» значение функции

Окончательно получим .

Погрешность вычислений при этом имеет порядок

.