- admin
- 28.01.2018
- No Comments
- Uncategorized
Производные и дифференциалы высших порядков.
Пусть задана функция двух переменных , непрерывная и имеющая непрерывные частные производные в области
.
Производные представляют собой некоторые непрерывные функции двух аргументов, их можно продифференцировать по переменными и . Таких производных второго порядка будет четыре
– вторая производная по
-сначала по , потом по
– сначала по , затем по
– вторая производная по .
Второе и третье производные второго порядка отличается, только порядком дифференцирования по переменным. Таких производных называют смешанными производными.
Аналогично определяются производные третьего, четвертого и – порядка:
– производная дважды по , затем по
– производная по , потом трижды по ,
– производная раз по , потом раз по .
Пример. Найти производные второго порядка .
Решение. , .
,
,
,
.
Изэтогопримеравидночтоихсмежныепроизводныеравнымеждусобой№
Имеетместоследующая теорема:
Теорема: Пусть дана функция z = f(x,y), непрерывная и имеющая непрерывные смешанные производные второго порядка, тогда они равны между собой:
(1)
Обобщим теорему: от изменения дифференцирования смешанная производная не изменяется.
Пример. Найти частные производные функции .
Решение.Здесь . Находим
, , .
Тогда , .
Определение производной n-го порядка
Производной второго порядка от функции называется производная от ее первой производной. Обозначение: .
Производной -го порядка(или n–й производной)называется производная первого порядка от производной -го порядка.:
.Также используют обозначение
Пример: | |
1) .
2) . |
Правила вычисления производной n-го порядка
- .
- Формула Лейбница (производная произведения):
, где – число сочетаний из по , (читается – факториал) определен для целых неотрицательных , причем , .
Пример: | |
Найти n–ю производную от функции .
Решение: Таким образом, в формуле Лейбница всего 3 ненулевых члена. Вычисляем коэффициенты: |
Свойства дифференциалов
Поскольку дифференциалы функций вычисляются по основной формуле , то справедливы обычные правила дифференцирования.
- ;
- ;
- ;
- .