Производная  сложной функци

Из примера видно, что сложная функция это функция от функции. Следовательно, можно дать следующее определение сложной функции:

Определение: Функция вида

y = f ( g (x) )

называется сложной функцией,  составленной  из функ­ций f u g, или суперпозицией функций f и g.

Пример: Функция  у =ln(cos x) есть сложная функция, составленная из функций

у = ln u    и    u = cos x .

Поэтому сложную функцию часто пишут в виде

y = f(u),         где        u = g(x).

                                Внешняя функция         Промежуточная

                                                                           функция

При этом аргумент х называют независимой перемен­ной, а  u – промежуточным аргументом.

Вернемся к примеру. Производную каждой из этих функций мы можем вычислить, используя таблицу производных.

Как же вычислить производную сложной функции?

Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема: Если функция u = g(x) дифференци­руема в некоторой точке х₀, а функция y=f(u) дифференцируема в точке u₀ = g(x₀), то сложная функция у=f(g(x))  дифференцируема в данной точке x₀.

При этом

или

,

т.е. производная от у по переменной х равна производной от у по переменной и, умноженной на производную о т и по переменной х.

Правило:

• Чтобы найти производную сложной функции, надо ее правильно прочитать;
• Чтобы правильно прочитать функцию, надо определить в ней порядок действий;
• Функцию читаем в обратном порядку действий направлении;
• Производную находим по ходу чтения функции.

А теперь разберем это на примере:

Пример 1:  Функция  у =ln( cos x) получается последовательным выполнением двух операций: взятия косинуса угла х и нахождения от этого числа натурального логарифма:

.

Функция читается так:  логарифмическая  функция  от  тригонометрической функции.

Продифференцируем функцию:  у = ln( cos x)=ln u,  u=cos x.

.

На практике такое дифференцирование производится гораздо короче и проще, во всяком случае, без введения записи  и.

Искусство дифференцирования сложной функции заключается в умении видеть в момент дифференцирования только одну функцию (именно – дифференцируемую в данный момент), не замечая пока другие, откладывая их видение до момента дифференцирования.

Будем использовать при дифференцировании  дополненную таблицу производных.

.

Пример 2: Найти производную функции у = (x³ – 5х + 7)⁹.

Решение:   Обозначив в «уме»  u = х³ – 5x +7,    получим у = u⁹. Найдем:

и

По формуле имеем

Таблица сложных производных

1. , в частности,
2. , в частности,
3. , в частности,