Пример 1. Упростить выражение:
.
Решение:
,
то есть, векторы можно складывать и умножать на числа так же, как и многочлены (в частности, также задачи на упрощение выражений). Обычно необходимость упрощать линейно подобные выражения с векторами возникает перед вычислением произведений векторов.

Пример 2. Векторы и служат диагоналями параллелограмма ABCD (рис. 4а). Выразить через и векторы , , и , являющиеся сторонами этого параллелограмма.

Решение. Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам. Длины искомых векторов находим либо как половины сумм векторов, образующих с искомыми треугольник, либо как половины разностей (в зависимости от направления вектора, служащего диагональю), либо, как в последнем случае, половины суммы, взятой со знаком минус. Итак, искомые векторы равны:

Пример 3. Рассчитать проекцию суммы векторов на ось l, если , а углы –
.
Решение. Спроектируем векторы на ось l как определено в теоретической справке выше. Из рис.5а очевидно, что проекция суммы векторов равна сумме проекций векторов. Вычисляем эти проекции:

Находим искомую проекцию суммы векторов:
.
Пример 4. Даны векторы . Коллинеарны ли эти векторы?
Решение. Выясним соотношение координат данных векторов:
.
Координаты векторов пропорциональны, следовательно, векторы коллинеарны, или, что то же самое, параллельны.

Пример 5. Найти длину вектора x = (3; 0; 4).
Решение. Длина вектора равна 

Пример 6. Даны точки:

Выяснить, равнобедренный ли треугольник, построенный на этих точках.
Решение. По формуле длины вектора (6) найдём длины сторон и установим, есть ли среди них две равные:

Две равные стороны нашлись, следовательно необходимость искать длину третьей стороны отпадает, а заданный треугольник является равнобедренным.

Пусть даны два вектора и, заданные своими проекциями:

или

или

Укажем действия над этими векторами.
1.Сложение:

или, что то же
,
т.е. при сложении двух векторов одноимённые координаты складываются.
2.Вычитание:

или, что то же
,
т.е. при вычитании двух векторов одноимённые координаты вычитаются.
3.Умножение вектора на число:

или, что то же
,
т.е. при умножении вектора на число все координаты умножаются на это число.

Пример 7. Даны два вектора:
.
Найти .
Решение:
.
Пример 8. Даны четыре вектора:
, , , .
Найти координаты векторов и .
Решение.
.
.