- admin
- 28.01.2018
- No Comments
- Uncategorized
Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида
(3.1)
Здесь х1, х2, …, хn – неизвестные, подлежащие определению (в общем случае m ≠ n); величины а11, а12, …, аmn – коэффициенты системы, b1, b2, …, bm– свободные члены, которые предполагаются известными.
Система (5.1) называется однородной, если все ее свободные члены b1, b2, …, bm равны нулю, и неоднородной, если хотя бы один из свободных членов b1, b2, …, bm отличен от нуля.
Система (5.1) называется квадратной, если число m составляющих ее уравнений равно числу неизвестных n.
Решением системы (5.1) называется упорядоченный набор n чисел ( ), которые, будучи подставлены в систему, превращают уравнения в числовые равенства (тождества).
Система (5.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее не существует ни одного решения.
Совместная система вида (5.1) называется определенной, если она имеет единственной решение, и неопределенной, если у нее существует, по крайней мере, два различных решения.
- Рассмотрим некоторые методы решения квадратных систем линейных уравнений.
Пусть дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными
(3.2)
– Метод Крамера. При решении методом Крамера:
а) вычисляется главный определитель системы ;
б) находят определители
, , ,
которые получаются из главного определителя заменой соответствующего столбца столбцом из свободных членов;
в) определяют по формулам Крамера значения , , , которые и являются решением системы.
- Метод Крамера
Рассматривается система уравнений
(1.2)
ТЕОРЕМА 1. Если определитель системы (1.2)
отличен от нуля (D ≠ 0), то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:
где
Доказательство. Умножая уравнения системы на алгебраические дополнения элементов первого столбца и складывая их, получим:
(а11А11+а21А21+а31А31)х+(а12А11+а22А21+а32А31)у+
+(а13А11+а23А21+а33А31)z = b1A11+b2A21+b3A31
Коэффициент при х представляет собой сумму произведений элементов первого столбца на свои алгебраические дополнения и, поэтому, он равен определителю системы D. Коэффициент при у есть сумма произведений элементов второго столбца на алгебраические дополнения элементов первого столбца; значит он равен нулю (на основании свойства определителей). По той же причине равен нулю коэффициент при z. Тогда имеем:
.
Выражение, стоящее в правой части этого равенства отличается от D тем, что на местах элементов первого столбца здесь стоят элементы столбца свободных членов. Определитель, в который собирается это выражение обозначается Dх и мы пришли к равенству:
.
Принимая во внимание, что D ≠ 0 по условию, получаем формулу . Формулы и выводятся аналогично. Докажем единственность найденного решения. Допустим, что есть еще хотя бы одно решение х0, у0, z0 .
Это значит, что являются истинными равенства
.
Производя над ними те же операции, что при выводе формул Крамера, приходим к соотношениям то есть новое решение совпадает с найденным выше.