Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

(3.1)

Здесь х₁, х₂, …, х_n – неизвестные, подлежащие определению (в общем случае m ≠  n); величины а₁₁, а₁₂, …, а_mn  – коэффициенты системы, b₁, b₂, …, b_m– свободные члены, которые предполагаются известными.

Система (5.1) называется однородной, если все ее свободные члены b₁, b₂, …, b_m  равны нулю, и  неоднородной,  если хотя бы один из свободных членов b₁, b₂, …, b_m  отличен от нуля.

Система (5.1) называется квадратной, если число m составляющих ее уравнений равно числу неизвестных n.

Решением системы (5.1) называется упорядоченный набор n чисел  ( ), которые, будучи подставлены в систему, превращают уравнения в числовые равенства (тождества).

Система (5.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее не существует ни одного решения.

Совместная система вида (5.1) называется определенной, если она имеет единственной решение, и неопределенной, если у нее существует, по крайней мере, два различных решения.

2. Рассмотрим некоторые методы решения квадратных систем линейных уравнений.

Пусть дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

(3.2)

   – Метод Крамера. При решении методом Крамера:

а) вычисляется главный определитель системы  ;

б) находят определители

,  , ,

которые получаются из главного определителя заменой соответствующего столбца столбцом из свободных членов;

в) определяют по формулам Крамера значения  , , ,   которые и являются решением системы.

• Метод Крамера

Рассматривается система уравнений

(1.2)

ТЕОРЕМА 1. Если определитель системы (1.2)

отличен от нуля (D ≠ 0), то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

где

Доказательство. Умножая уравнения системы на алгебраические дополнения элементов первого столбца и складывая их, получим:

(а₁₁А₁₁+а₂₁А₂₁+а₃₁А₃₁)х+(а₁₂А₁₁+а₂₂А₂₁+а₃₂А₃₁)у+

+(а₁₃А₁₁+а₂₃А₂₁+а₃₃А₃₁)z = b₁A₁₁+b₂A₂₁+b₃A₃₁

Коэффициент при х представляет собой сумму произведений элементов первого столбца на свои алгебраические дополнения и, поэтому, он равен определителю системы D. Коэффициент при у есть сумма произведений элементов второго столбца на алгебраические дополнения элементов первого столбца; значит он равен нулю (на основании свойства определителей). По той же причине равен нулю коэффициент при z. Тогда имеем:

.

Выражение, стоящее в правой части этого равенства отличается от D тем, что на местах элементов первого столбца здесь стоят элементы столбца свободных членов. Определитель, в который собирается это выражение обозначается Dх и мы пришли к равенству:

.

Принимая во внимание, что D ≠ 0 по условию, получаем формулу . Формулы  и  выводятся аналогично. Докажем единственность найденного решения. Допустим, что есть еще хотя бы одно решение х₀, у₀, z₀ .

Это значит, что являются истинными равенства

.

Производя над ними те же операции, что при выводе формул Крамера, приходим к соотношениям  то есть новое решение совпадает с найденным выше.