Пример 1. Доказать, что вектор  ортогонален (перпендикулярен) вектору 

Решение. Векторы ортогональны (перпендикулярны), если скалярное произведение этих векторов равно нулю. Перемножим векторы  и  как многочлены:

.

Итак, ортогональность (перпендикулярность) векторов доказана.

Пример 2. Даны длины двух векторов и угол между ними:

.

Определить, при каком значении  векторы  и  ортогональны (перпендикулярны).

Решение. Векторы ортогональны (перпендикулярны), если скалярное произведение этих векторов равно нулю. Перемножим векторы по правилу умножения многочленов:

.

Теперь вычислим каждое слагаемое:

.

Составим уравнение (равенство скалярного произведения векторов нулю), приведём подобные члены и решим уравнение:

Пример 3. Даны векторы:

.

Вычислить скалярные произведения всех пар данных векторов. Какой угол (острый, прямой, тупой) образуют эти пары векторов?

Решение. Векторы даны в координатах, поэтому скалярные произведения векторов будем вычислять путём сложения произведений соответствующих координат.

.

Скалярное произведение векторов отрицательно, поэтому эти векторы образуют тупой угол.

.

Скалярное произведение векторов положительно, поэтому эти векторы образуют острый угол.

.

Скалярное произведение векторов положительно, поэтому эти векторы образуют острый угол.

.

Скалярное произведение векторов равно нулю, поэтому эти векторы образуют прямой угол.

.

Скалярное произведение векторов положительно, поэтому эти векторы образуют острый угол.

.

Скалярное произведение векторов положительно, поэтому эти векторы образуют острый угол.