ГИПЕРБОЛА

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, на­зываемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению; кроме того, требуется, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля. Фокусы гиперболы принято обозначать через F
₁ и F₂, а расстояние между ними—через 2с.
Пусть М—произвольная точка гиперболы с фокусами F₁ и F₂.  Отрезки F₁М и F₂М (так же, как и дли­ны этих отрезков)  называ­ются фокальными радиусами точки М и обозначаются че­рез r₁ и r₂  (r₁= F₁М, r₂= F₂М).  По определению гиперболы разность фокаль­ных радиусов ее точки М есть   по­стоянная   величина; эту постоян­ную принято обозначать через 2а.
Пусть дана какая-нибудь гипербола с фокусами F₁ и F₂. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у, а фокальные радиусы F₁М и F₂М через r₁ и r₂. Точка М будет находиться на (данной) гиперболе в том и только в том случае, когда r₁— r₂= ±2а.
Так как F₁F₂=2с и так как фокусы F₁ и F₂ располо­жены на оси Ох симметрично относительно на­чала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); приняв это во внима­ние находим:         ,  . Заменяя r₁ и r₂, получаем:
.Это и есть уравнение рассматриваемой гиперболы, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х; у), когда точка М лежит на гиперболе.
Возведём обе части равенства в квадрат; получим: , или    .

Возводя в квадрат обе части этого равенства, найдем:   c²x² – 2a²cx + a⁴ = a²x² – 2a²cx + a²c² + a²y² ,
откуда   (c² – a²)x² – a²y² = a²(c² – a²) .
Здесь мы введем в рассмотрение новую величину   ; с>a, следовательно, с²—а²>0 и величина b—вещественна.
b²= с²—а², тогда b²x²— a²y²= a²b²  ,или       .

Уравнение   ,определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямо­угольных коорди­нат, есть урав­нение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядка.
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение рас­стояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами; обозначив эксцентриситет бук­вой ε, получим: .
Так как для гиперболы с>a, то ε>1; т. е. эксцентриситет каждой гиперболы больше единицы. Заме­тив, что c²= a²+ b², находим: ; отсюда     и    .
Следовательно, эксцентриситет определяется отношением , а от­ношение  в свою очередь оп­ределяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет гиперболы ха­рактеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы.
Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше ε²—1, тем меньше, следо­вательно, отношение ; значит, чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем бо­лее вытянут ее ос­новной прямоугольник (в направлении оси, соединяющей вершины). В случае равносторонней ги­перболы a=b и ε=√2.

Рассмотрим какую-ни­будь гиперболу и введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы эта гипербола определялась каноническим уравнением  .
Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, кото­рая ее пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии  от него, называются директрисами гипер­болы.
Уравнения директрис в вы­бранной   системе  координат имеют вид   и  .
Первую из них мы усло­вимся называть левой, вто­рую  — правой. Так как для гиперболы ε
>1, то .Отсюда следует, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гипер­болы; ана­логично, левая директриса расположена между центром и левой вершиной.

ПАРАБОЛА.

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фо­ку­сом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой ди­ректрисой (пред­полагается, что эта прямая не проходит через фокус).
Фокус параболы принято обозначать буквой F, расстояние от фокуса до ди­ректрисы—буквой p. Величину р называют параметром параболы.
Пусть дана какая-нибудь парабола. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим далее через r рас­стояние от точки М до фокуса (r=FM), через d—расстояние от точки М до дирек­трисы. Точка М будет находиться на (данной) параболе в том и только в том случае, когда r=d. Чтобы получить искомое уравнение, нужно заменить переменные r и d  их выраже­ниями через те­кущие координаты х, у.
Заметим, что фокус F имеет координаты ; приняв это во внимание, находим: .

Обозначим через Q основание перпендикуляра, опущенного из точки М на директрису. Очевидно, точка Q имеет координаты  отсюда, получаем:

число положительное; это следует из того, что М (х; у) должна находиться с той стороны от директрисы, где находится фокус, т. е. должно быть , откуда .
Заменяя r и d, найдем Это и есть уравнение рассматриваемой параболы, так как ему удовлетворяют коорди­наты точки М (х; у), когда точка М лежит на данной параболе.
Возведем обе части равенства в квадрат; получим: или   у²=2рх.
Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Уравнение у²=2рх, определяющее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй сте­пени; таким образом, парабола есть линия второго порядка.