Прямая на плоскости, всевозможные уравнения.
Литература: Сборник задач по математике Часть 1. Под ред А В Ефимова. Б П Демидовича.
Существуют такие формы записи уравнения прямой:

1) у = kx + b, где k— угловой коэффициент. b- отрезок, который прямая отсекает на оси OY.

2) у-уо = к(х-хо) – уравнение прямой, которая проходит через заданную точку Р(х0,уо) под заданным углом а к оси ОХ (к = tga).

3) = уравнение прямой, которая проходит через две точки М(а^, yi) н N(x2, У2 ).

4)  = 1 – уравнение прямой в отрезках на осях, где а и 6- величины отрезков, которые прямая отсекает на осях координат.

5)  = каноническое уравнение прямой, где S = ( направляющий вектор прямой.

то есть вектор параллельной прямой , точка .

6) А(х — хо) + В(у — уо) = О – уравнение прямой L, которая проходит через точку М(х0,уо) перпендикулярно вектору N = {А, В). Вектор N называется нормальным вектором прямой.
7) Ах + By + С = 0— общее уравнение прямой L, где N = (А, В)— нормальный вектор прямой L.
8) х cos а + у cos (3 – р = 0- нормальное уравнение прямой, где cos а н cos/9- направляющие косинусы нормального вектора п, направленного из начала координат в сторону прямой, а р > О— расстояние от начала координат до прямой.
Общее уравнение прямой приводится к нормальному, путем умножения на нормирующий множитель

Расстояние от точки Р(х0,у0) до прямой L : Ах + By + С = 0 вычисляется по формуле

Зная координаты точек M\(x\,yiyzi) и Л/2(^2>J/2>^2) и отношение Л, в котором точка М делит направленный отрезок М\М2, найдем координаты точки А/.

Пусть О- начало координат. Обозначим ОМ\ = гь ОМ2 = г2, ОМ = г. Так как.

М\М =г-гьММ2 = г2 — г,

то г – = Л(г2 – г), откуда (так как А ф -1)

г\ + Аг2 Г_ 1 + А •
Полученная форма н дает решение задачи в векторной форме. Переходя в этой формуле к координатам, получим

Примеры.

2.57. Отрезок с концами в точках  разделен на три равные части. Найти координаты точек деления.

Решение.

Пусть С(хс, ус) и D(xp, yi))- точки, которые делят отрезок АВ на три равные части. Тогда

Далее находим координаты точки D :
Ответ: (4,0) и (5,2).