Две матрицы называются равными, если они имеют одинако­вое число строк m и одинаковое число столбцов n и их соответ­ствующие элементы равны. Так, матрицы

A =  и В =  равны, если , , , , , .

Равные матрицы обязательно имеют одно и то же строение: либо обе они прямоугольные типа , либо квадратные одного и того же порядка n.

Если в матрице переставить строки со столбцами, получим матрицу, которую будем называть транспонированной матрицей.

Например, матрицы А и В являются транспонированными А = ;

В = .

В том случае, когда матрица состоит из одной строки (матри­ца-строка), т. е.

B= , транспонированная матрица является матрицей-столбцом:

B^т = .

Например: .

Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами.

А+В=В+А

(А+В)+С=А+(В+С)

А(В+С)=АВ+АС

(А+В)С=АС+ВС

Но, кроме этих свойств существуют и специфические свойства.

Если произведение матриц АВ существует, то после перестановки множителей местами произведения матриц ВА может и не существовать  (так как число столбцов первой матрицы будет не совпадать с числом строк второй матрицы)

Если даже произведения АВ и ВА существуют, то они могут быть матрицами разного размера.

Например: Найти результат умножения АВ и ВА. Сделать вывод. .  С=АВ= ;  то есть АВ ВА.

В случае, когда оба произведения существуют АВ и ВА и оба – матрицы одинакового размера коммутативный (переместительный) закон умножения не выполняется. Например:  В этом случае  то есть АВ ВА. Только в частном случае коммутативным свойством обладает произведение любой квадратной матрицы А -го порядка на единичную матрицу того же порядка, причем АЕ=ЕА=А. Таким образом единичная матрица при выполнении этого умножения играет такую же роль, что и 1 при умножении чисел.

Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, то есть из того, что АВ=0, не следует, что А=0 или В=0. Например: