Тема №32. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

                                Дифференциал функции.

  1. Понятие дифференциала функции и таблица дифференциалов.

Произведение производной ƒ/ (х) на приращение ∆х называется дифференциалом функции у = ƒ (х) в точке х0. Обозначают дифференциал dy ( x )  или    dƒ (х). Поэтому можно написать dy = dƒ (х) = ƒ/ (х) ∆х. Для приращения независимой переменной имеем ∆х = dх , и поэтому дифференциал записывается в виде dƒ = ƒ/ (х) dх (13). Заметим, что приращение функции   ∆у   при малом приращении ∆х = dх по величине «очень мало» отличается от приращения по касательной, т.е. от дифференциала   dy.  Следовательно, можно записать     ∆у  ≈  dy.  Так как  касательная в точке М, «почти совпадает» с кривой в малой окрестности точки х0 то разность (∆у –  dy) стремится к нулю «быстрее», чем ∆х, при

х    0. Это обстоятельство используется в приближенных вычислениях. Пример. Найти дифференциал функции   ƒ (х) = 3х2 – sin (1+2x).

Решение.     Находим по формуле (13)

находим    dy = ( 3x2 – sin (1+2x))/ . dx = (6x – 2cos(2x+1)) dx

С помощью определения и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.

  1. d ( u ± v) = du ± dv
  2. d ( u . v) = v . du + u . dv , в частности      d (C . u ) = C . du
  3. d , в частности
  4. dy = y/x . dx , если y = ƒ (х)
  5. dy = y/u . du , если y = ƒ (u), u = (x)
  6. dC = 0
  7. d(un) = n . un-1 . du
  8. d( an) = an . lna . du , в частности, d( an) = en . du
  9. d(loga u) = . du , в частности, d(ln u) = . du
  10. d(sin u) = cos u . du
  11. d(cos u) = – sin u . du
  12. d(tg u) =  . du
  13. d(ctg u) = –  . du
  14. d(arcsin u) =  . du
  15. d(arcos u) = –  . du
  16. d(arctg u) = –  . du
  17. d(arcctg u) = –  . du
  18. d( shu) = chu . du
  19. d( chu) = shu . du
  20. d( thu) = . du
  21. d( cthu) = . Du
  22. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Как известно, ∆у  ≈  dy. Это равенство тем точнее, чем меньше ∆х. Это равенство позволяет с большей точностью вычислить приращение любой дифференцируемой  функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому данное равенство широко применяется в вычислительной практике.

Подставляя в последнее равенство значения  ∆у  и   dy , получим

ƒ (х + ∆х) – ƒ (х) ≈ ƒ/ (х) . ∆х  или ƒ (х + ∆х) ≈ ƒ (х) + ƒ/ (х) . ∆х    (14)

Формула (14) используется для вычислений приближенных значений функций.

Пример. Вычислить приближенно arctg 1.05.

Решение. Рассмотрим функцию ƒ (х) = arctg х. По формуле (14) имеем arctg (х + ∆х) ≈ arctg х + (arctg х)/ . ∆х    , arctg (х + ∆х) ≈ arctg х +

Так как  х + ∆х  = 1,05,то при  х = 1  и  ∆х  = 0,5   получаем

arctg 1,05 ≈ arctg 1 +  =  + 0,025 ≈ 0,810

  1. Дифференциалы высших порядков.

Пусть у = ƒ (х) дифференцируемая   функция, а ее аргумент х – независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy = ƒ/ (х) dх есть также функция   х  , можно найти  дифференциал  этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции у = ƒ (х) называется ее вторым дифференциалом  или  дифференциалом   второго  порядка  и обозначается

d 2 y   или d 2 ƒ (х). Итак по определению d 2 y = d (d y). Найдем выражение второго дифференциала функции у = ƒ (х).

Так как  dх = ∆х не зависит от х, то при дифференцировании считаем dх постоянным:

d 2 y  = d (d y)  = d (ƒ/ (х) dх) = (ƒ/ (х) dх)/ . dх = ƒ// (х) dх . dх = ƒ// (х) . (dх)2,

т.е.      d 2 y  = ƒ// (х) . (dх)2   (16).

Аналогично определяется и находится дифференциалом третьего порядка :

d 2 y  = d (d2 y)  = d (ƒ// (х) dх2) = ƒ/// (х) . (dх)3.    И,  вообще дифференциал  n-го  порядка  есть дифференциал от дифференциала (n – 1) -го  порядка :

d n y  = d (dn-1 y) = ƒ (n) (х) . (dх)n.

Отсюда находим, что ƒ (n) (х)  =  . В частности,   ƒ/ (х) =  ,

ƒ// (х) = , ƒ/// (х) =  , т.е. производную функции можно рассматривать как отношение дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если х –  независимая  переменная.  Если же функцию  у = ƒ (х), х – функция от какой – то другой независимой переменной, то дифференциалы   второго  и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере  дифференциала   второго  порядка . Используя формулу произведения,

d ( u . v) = v . du + u . dv, получаем

d 2 y  = d (ƒ/ (х) dх) = d (ƒ/ (х))/ . dх + ƒ/ (х) d . (dх) = ƒ// (х) .. dх + ƒ/ (х) . d2х

т.е.      d 2 y  = ƒ// (х) dх . dх  +  ƒ/ (х) . d2х         (17).

Сравнивая формулы  (16) и (17), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала   второго  порядка изменяется: появляется  второе слагаемое ƒ/ (х) . d2х . Ясно , что если х – независимая переменная, то   d 2 х =  d (d х) = d ( 1 . d х)   =  d х . d (1) = d х . 0 = 0  и формула (17) переходит в формулу  (16).

Пример.    Найти d 2 y,  если    у = e ,  если х – независимая переменная.

Решение.  Так как  у/ =  3e , у// =  9e , то по формуле  (16) имеем

d 2 y =  9e2.

Понимание нового материала

Пример 1. Найти дифференциал функции .

Решение. Найдем производную этой функции:

 

По определению дифференциала функции , поэтому

.

Пример 2. Вычислить приближенное значение .

Решение. Преобразуем этот корень при помощи элементарных

действиий так: .

Вычислим теперь приближенно . Рассмотрим это выражение        как частное  значение функции  при . Обозначим , . Нам надо найти приращение функции  при изменении аргумента от значения  до .

Примем .

Найдем «новое» значение функции

 

Окончательно получим .

Погрешность вычислений при этом имеет порядок

.

Leave a Reply
Войти с помощью: 

Your email address will not be published.

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Тұтынушылардың құқығын қорғау
137 queries