Тема №31. Производные второго порядка. Понятие производных высших порядков.  

Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть задана функция двух переменных , непрерывная и имеющая непрерывные частные производные в области

.

Производные представляют собой некоторые непрерывные функции двух аргументов, их можно продифференцировать по переменными  и . Таких производных второго порядка будет четыре

– вторая производная по

-сначала по , потом по

– сначала по , затем по

– вторая производная по .

Второе и третье производные второго порядка отличается, только порядком дифференцирования по переменным. Таких производных называют смешанными производными.

Аналогично определяются производные третьего, четвертого и – порядка:

– производная дважды по , затем по

– производная по , потом трижды по ,

– производная  раз по , потом  раз по .

Пример. Найти производные второго порядка .

Решение.  , .

,

,

,

.

Изэтогопримеравидночтоихсмежныепроизводныеравнымеждусобой№

Имеетместоследующая теорема:

Теорема: Пусть дана функция z = f(x,y), непрерывная и имеющая непрерывные смешанные производные второго порядка, тогда они равны между собой:

(1)

Обобщим теорему: от изменения дифференцирования смешанная производная не изменяется.

Пример. Найти частные производные функции .

Решение.Здесь . Находим

, , .

Тогда     , .

Определение производной n-го порядка

Производной второго порядка от функции  называется производная от ее первой производной. Обозначение: .

Производной -го порядка(или n–й производной)называется производная первого порядка от производной -го порядка.:

.Также используют обозначение

Пример:  
  1) .

2) .

Правила вычисления производной n-го порядка

  1. .
  2. Формула Лейбница (производная произведения):

, где  – число сочетаний из  по ,  (читается  – факториал) определен для целых неотрицательных , причем , .

Пример:  
  Найти n–ю производную от функции .

Решение:

Таким образом, в формуле Лейбница всего 3 ненулевых члена.

Вычисляем коэффициенты:

 Свойства дифференциалов

Поскольку дифференциалы функций вычисляются по основной формуле , то справедливы обычные правила дифференцирования.

  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. .
Leave a Reply
Войти с помощью: 

Your email address will not be published.

Тұтынушылардың құқығын қорғау
129 queries