Тема №25. Уравнения кривых второго порядка: окружность и эллипс.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.
Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

Теорема1. Окружность радиуса  с центром в точке   имеет уравнение (2)

Доказательство. Пусть  – текущая точка окружности. По определению окружности расстояние  равно   (1)

(1)

По формуле для плоскости получаем, что точки окружности и только они удовлетворяют уравнению

Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в квадрат получим эквивалентное уравнение(2).

Если в уравнении(2) раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к виду(2). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным  и  .

ЭЛЛИПС.

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фик­сированных точек плоскости, называе­мых фокусами, есть постоянная величина; требуется, чтобы эта по­стоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса при­нято обозначать через F1 и F2.

Пусть М — произвольная точка эллипса с фокусами F1 и  F2
Отрезки F1М  и  F2 М (так же как и длины этих отрезков) назы­ваются  фокальными радиусами точки М. По­стоянную сумму фокаль­ных ра­диусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки М эллипса имеем:
                                                                          F1М  +  F2 М = 2а.
Расстояние F1 и F2 между фокусами обозначают через 2с. Пусть дан какой-нибудь эллипс с фоку­сами F1, F2.
Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим, далее, через r1 и r2 расстояния от точки М до фокусов.  r1 = F1М, r2 = F2М . Точка М будет нахо­диться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда r1 + r2 = 2а.
Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить r1 + r2 их выраже­ниями через координаты х, у.
Заметим, что так как F1F2 = 2с и так как фокусы F1F2 распо­ложены на оси Ох симметрично от­носительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); при­няв это во внимание находим:

Заменяя rи  r2, получаем:      Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяют координаты точки  М (х; у), когда точка М лежит на этом эллипсе. Возведём обе части равенства в квадрат, полу­чим:
или 
Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем:
а2х2 — 2а2сх + а2с2 + а2у2 = а4 — 2а2сх + с2х2  , откуда     2—с22 + а2у2 = а22—с2).
Здесь мы введем в рассмотрение новую величину             ; а>с, следовательно, а2—с2>0 и величина b—вещественна.     b2 = a2—c2,   тогда  b2x2 + a2y2 = a2b2или
–  
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.
Уравнение     ,  определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение рас­стояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой ε, получаем:      .

Так как с<a, то ε<1, т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы.

Заметим, что c2 = а2  – b2 ; поэтому    ; отсюда     и
Следовательно,  эксцентриситет  определяется  отношением  осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцен­триситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1— ε2, тем меньше, следова­тельно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае окружности b=a и ε=0.
Рассмотрим какой-нибудь эллипс и введем декартову прямо­угольную систему координат так, чтобы этот эллипс определялся каноническим уравнением
Предположим, что рассматриваемый эллипс не является окружностью, т. е. что а≠b и, следова­тельно, ε=0. Предположим еще, что этот эллипс вытянут в направлении оси Ох, т. е. что а>b
Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и рас­положенные симметрично относи­тельно центра на расстоянии  от него, называются директрисами эллипса.
Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид   и  .

Первую из них мы условимся называть левой, вторую—правой. Так как для эллипса ε<1, то . Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины эл­липса; аналогично, левая ди­ректриса  расположена левее его левой вершины. Частным случаем эллипса является окружность. Её уравнение имеет вид:   х2 + у2 = R2

 

Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки (центра).

Нормальное уравнение окружности имеет вид

(х – х0)2 + (y – у0)2 = R2,

где х0, у0 — координаты центра окружности;

R — радиус окружности.

После раскрытия скобок в этом уравнении получается общее уравнение окружности

х2 + у2 + Dx + Еу + F = О,

где D = -2х0, Е = -2у0, F = -х02 – у02 – R2.
3.1. Написать уравнение окружности с центром С(-2; 3) и радиусом, равным 5. Построить окружность. Определить принадлежность точек М1(2; 6), М2( 1; 7), М3(0; 4) окружности.

3.2. Найти координаты центра и радиус окружности х2– у2 – 8x + 6у – 11 = 0. Построить окружность.

Решение. Сгруппируем члены, содержащие переменные х и у, и дополним каждую группу до полного квадрата суммы или разности:

х2 – 8х + 16 – 16 + у2 + 6у + 9 – 9 – 11 = 0,

или

(х – 4)2 + (y + З)2 – 36.

Откуда получаем координаты центра С(4; -3) и радиус R = 6. После этого может быть построена окружность.

3.3. Найти координаты центра и радиус окружности х2 + у2 + 4х – 4у – 1 = 0.

Leave a Reply
Войти с помощью: 

Your email address will not be published.

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Тұтынушылардың құқығын қорғау
134 queries