Тема №24. Параметрическое и каноническое уравнение прямой в пространстве. Уравнение прямой проходящей через две данные точки. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой.

Определение. Уравнением линии на плоскости Оху называется такое уравнение  с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Переменные х и у называются текущими координатами точек линии.

 

  1. Способы задания прямой

Определение. Уравнением прямой в общем виде называется уравнение ,

где А, В, и С – произвольные числа.

Экономическая интерпретация уравнения  – это уравнение бюджетной прямой, где x и y – количество покупаемого товара двух видов, А и В– соответствующие цены, С – бюджет.

Определение. Уравнением прямой с угловым коэффициентом называется уравнение вида . Число  называется угловым коэффициентом прямой и равен , где  – угол наклона прямой.

Экономическая интерпретациях – количество купленного товара, у – общие затраты покупателя, к – цена товара, kx – переменные затраты (стоимость товара), b – постоянные затраты (например, транспортные расходы).

Определение. Уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении называется уравнение вида

Определение. Уравнением прямой, проходящей через две данные точки  и   называется  уравнение вида

Определение. Уравнение вида называется уравнением прямой в отрезках

 

  1. Основные задачи на прямую

1) Угол между двумя прямыми. Пусть прямые  и  заданы уравнениями  и . Тогда угол  между ними определяется по формуле

.

2) Условие параллельности прямых:. .

3) Условие перпендикулярности прямых:. .

4) Расстояние от точки до прямой:

Расстояние от точки до прямой , заданной уравнением , находится по формуле

 

называется уравнение

f (x; y) = 0                                                                  (7.1)

с переменными x и y, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяет координаты любой точки плоскости, не лежащей на этой линии. Переменные x и y уравнения линии называются текущими координатами.

Частным случаем линии на плоскости является прямая.

  1. Пусть прямая l не параллельна оси Оу (рис. 7.1). Обозначим точку пересечения l с осью Оу через В(0;b), а угол между положительным направлением оси Ох и l через φ. Угол φ, отсчитываемый от Ох против часовой стрелки (0≤φ<π), называется углом наклона прямой l к оси Ох. Выведем уравнение прямой l.

Пусть М(х; у) – произ­вольная точка прямой  l с те­кущими координатами х и у, причем х≠0. Из прямоуголь­ного треугольника BNM (см. рис. 7.1) имеем

(7.2)

 

М(х; у)

Рис.7.1

 

Эту величину называют угло­вым коэффициентом прямой и
обозначают через kk = tg φ.

Тогда из (7.2) получаем    , откуда

y = kx + b.                                   (7.3)

 

Уравнение (7.3) называется уравнением прямой с угловым коэффи­циентом; число b называется начальной ординатой (это ордината точки В- точки пересечения прямой с осью Оy ).

Если в уравнении (7.3) k = 0, то имеем уравнение прямой

                                                            y = b,                                                 (7.4)

параллельной оси Ох и проходящей через точку В(0; b). При b=0 из (6.4) получаем уравнение координатной оси Ох: у = 0.

      По аналогии с уравнением (7.4) уравнение

                                                                 х = а                                                       (7.5)

есть уравнение прямой, параллельной оси Оу и проходящей через точку (а; 0). При а = 0 из (7.5) имеем уравнение координатной оси Оу: х = 0.

  1. Уравнением с угловым коэффициен­том может быть задана любая прямая на плоскости, не параллель­ная оси ординат. При рассмотрении уравнения первой степени

                                                       Ах+Ву+С=0,                                         (7.6)

в котором коэффициенты  А и В одновременно не равны нулю, оказывается, что любую прямую без каких-либо ограничений мож­но задать уравнением (7.6).

Теорема. Каждая прямая на плоскости с прямоугольной декар­товой системой координат определяется уравнением первой степени, и наоборот: каждое уравнение первой степени определяет некоторую прямую на плоскости.

Уравнение (7.6) (А и В одновременно не равны нулю), описывающее на плоскости любую прямую, называется общим уравнением прямой.

       Решая (7.6) относительно y, получаем уравнением прямой с угловым коэффи­циентом  y = kx + b, где  k = – А/Вb = – С/В.

  1. Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку М000), направление которой задано угловым коэффи­циентом k.

Уравнение этой прямой имеет вид

                                                           у = кх+ b                                            (7.7)

Так как искомая прямая проходит через точку М0 то

                                                            y0=kx0 + b.                                        (7.8)

Вычитая из равенства (7.7) равенство (7.8), получаем

                                                   у – у0 =k(х – х0).                                                    (7.9)

Это и есть уравнение прямой, прохо­дящей через данную точку в заданном направлении.

  1.          Предположим, что в общем уравнении прямой А≠0, В≠0 и C≠0. Перенеся в нем С в правую часть и разделив обе части полученного уравнения на –С, получим

или         .

Отсюда, вводя обозначения , , приходим к уравнению

(7.10)

Уравнение (7.10) называется уравнением прямой в отрезках. Это название объясняется тем, что числа а и b определяются отрезками ОА и ОВ, которые прямая отсекает на осях координат (рис.7.2). Такой вид уравнения удобен для построения прямой.

 

Рис. 7.2

 

Определение. Уравнением линии на плоскости Оху называется такое уравнение  с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Переменные х и у называются текущими координатами точек линии.

 

  1. Способы задания прямой

Определение. Уравнением прямой в общем виде называется уравнение ,

где А, В, и С – произвольные числа.

Экономическая интерпретация уравнения  – это уравнение бюджетной прямой, где x и y – количество покупаемого товара двух видов, А и В– соответствующие цены, С – бюджет.

Определение. Уравнением прямой с угловым коэффициентом называется уравнение вида . Число  называется угловым коэффициентом прямой и равен , где  – угол наклона прямой.

Экономическая интерпретациях – количество купленного товара, у – общие затраты покупателя, к – цена товара, kx – переменные затраты (стоимость товара), b – постоянные затраты (например, транспортные расходы).

Определение. Уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении называется уравнение вида

Определение. Уравнением прямой, проходящей через две данные точки  и   называется  уравнение вида

Определение. Уравнение вида называется уравнением прямой в отрезках

 

  1. Основные задачи на прямую

1) Угол между двумя прямыми. Пусть прямые  и  заданы уравнениями  и . Тогда угол  между ними определяется по формуле

.

2) Условие параллельности прямых:. .

3) Условие перпендикулярности прямых:. .

4) Расстояние от точки до прямой:

Расстояние от точки до прямой , заданной уравнением , находится по формуле

 

называется уравнение

f (x; y) = 0                                                                  (7.1)

с переменными x и y, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяет координаты любой точки плоскости, не лежащей на этой линии. Переменные x и y уравнения линии называются текущими координатами.

Частным случаем линии на плоскости является прямая.

  1. Пусть прямая l не параллельна оси Оу (рис. 7.1). Обозначим точку пересечения l с осью Оу через В(0;b), а угол между положительным направлением оси Ох и l через φ. Угол φ, отсчитываемый от Ох против часовой стрелки (0≤φ<π), называется углом наклона прямой l к оси Ох. Выведем уравнение прямой l.

Пусть М(х; у) – произ­вольная точка прямой  l с те­кущими координатами х и у, причем х≠0. Из прямоуголь­ного треугольника BNM (см. рис. 7.1) имеем

(7.2)

 

М(х; у)

Рис.7.1

 

Эту величину называют угло­вым коэффициентом прямой и
обозначают через kk = tg φ.

Тогда из (7.2) получаем    , откуда

y = kx + b.                                   (7.3)

 

Уравнение (7.3) называется уравнением прямой с угловым коэффи­циентом; число b называется начальной ординатой (это ордината точки В- точки пересечения прямой с осью Оy ).

Если в уравнении (7.3) k = 0, то имеем уравнение прямой

                                                            y = b,                                                 (7.4)

параллельной оси Ох и проходящей через точку В(0; b). При b=0 из (6.4) получаем уравнение координатной оси Ох: у = 0.

      По аналогии с уравнением (7.4) уравнение

                                                                 х = а                                                       (7.5)

есть уравнение прямой, параллельной оси Оу и проходящей через точку (а; 0). При а = 0 из (7.5) имеем уравнение координатной оси Оу: х = 0.

  1. Уравнением с угловым коэффициен­том может быть задана любая прямая на плоскости, не параллель­ная оси ординат. При рассмотрении уравнения первой степени

                                                       Ах+Ву+С=0,                                         (7.6)

в котором коэффициенты  А и В одновременно не равны нулю, оказывается, что любую прямую без каких-либо ограничений мож­но задать уравнением (7.6).

Теорема. Каждая прямая на плоскости с прямоугольной декар­товой системой координат определяется уравнением первой степени, и наоборот: каждое уравнение первой степени определяет некоторую прямую на плоскости.

Уравнение (7.6) (А и В одновременно не равны нулю), описывающее на плоскости любую прямую, называется общим уравнением прямой.

       Решая (7.6) относительно y, получаем уравнением прямой с угловым коэффи­циентом  y = kx + b, где  k = – А/Вb = – С/В.

  1. Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку М000), направление которой задано угловым коэффи­циентом k.

Уравнение этой прямой имеет вид

                                                           у = кх+ b                                            (7.7)

Так как искомая прямая проходит через точку М0 то

                                                            y0=kx0 + b.                                        (7.8)

Вычитая из равенства (7.7) равенство (7.8), получаем

                                                   у – у0 =k(х – х0).                                                    (7.9)

Это и есть уравнение прямой, прохо­дящей через данную точку в заданном направлении.

  1.          Предположим, что в общем уравнении прямой А≠0, В≠0 и C≠0. Перенеся в нем С в правую часть и разделив обе части полученного уравнения на –С, получим

или         .

Отсюда, вводя обозначения , , приходим к уравнению

(7.10)

Уравнение (7.10) называется уравнением прямой в отрезках. Это название объясняется тем, что числа а и b определяются отрезками ОА и ОВ, которые прямая отсекает на осях координат (рис.7.2). Такой вид уравнения удобен для построения прямой.

 

Рис. 7.2

 

Leave a Reply
Войти с помощью: 

Your email address will not be published.

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Тұтынушылардың құқығын қорғау
151 queries